Matriz Oposta e Matriz Transposta

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Matemática geralmente é uma dificuldade para milhares de estudantes. E, mesmo que você não seja um deles, pode ser que surja alguma dúvida em algum momento. Como, por exemplo, a classificação de matrizes. O que caracteriza uma matriz oposta? E uma matriz transposta?

Veja também outros artigos relacionados à Matemática.

Uma matriz é definida pelo seu número de linhas e colunas, m x n, sendo m representando o número de linhas e n o número de colunas.

Matriz Oposta

O sentido de oposto na matemática sugere um número que somado a outro resulte em zero. Ou seja, para tal resultado, é necessário que os valores sejam opostos, de sinais opostos. Assim também o é em matrizes. Se somada com outra matriz e gerar uma matriz nula, então é uma matriz oposta.

A matriz oposta de uma matriz A qualquer é definida como matriz -A. A matriz transposta de uma matriz qualquer é obtida através da sua multiplicação pelo valor -1, mudando assim, todos os sinais de seus elementos.

Exemplo: Dada a matriz:

Teremos que a matriz posta a A, é dada por:Para provar a veracidade, basta somar as duas matrizes e verificar se a matriz gerada é uma matriz nula. Desse modo:

Matriz Transposta

A matriz transposta é aquela que tem sua ordem trocada. Ou seja, dada uma matriz A qualquer de ordem m x n, a matriz transposta de A será representada por A ͭ de ordem n x m, com a inversão de linhas pelas colunas.

Exemplo: Dada a matriz A de ordem 3 x 2:Invertendo os elementos das linhas pelos das colunas e vice-versa, temos sua matriz transposta A ͭ de ordem 2 x 3:O que você achou desse artigo? Se gostou dessa informação, compartilhe com seus amigos e nos deixe uma avaliação!
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Como resolver matriz – De ordens 1, 2 e 3

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Matemática geralmente é uma dificuldade para milhares de estudantes. E, mesmo que você não seja um deles, pode ser que surja alguma dúvida em algum momento. Como, por exemplo, como resolver matriz.

Veja também outros artigos relacionados à Matemática.

O determinante de uma matriz, também chamado de valor número por alguns estudiosos, pode ser determinado se a matriz for quadrada. Isso significa que ela precisa possuir o mesmo número de linhas e colunas.

Como uma matriz é definida pelo número de linhas e colunas, m x n (m representa o número de linhas e n o número de colunas), logo, uma matriz quadrada é do tipo n x n.

Notação 1: A notação de uma matriz são colchetes [], parênteses () ou linhas duplas ||. O conteúdo da matriz vai dentro desses argumentos.

Notação 2: O determinante de uma matriz é denotado da seguinte forma: det A = x, sendo A uma matriz quadrada qualquer e x o valor do determinante.

Como resolver matriz de ordem 1

Uma matriz de ordem 1 é aquela que possui apenas um elemento, ou seja, uma linha e uma coluna. O determinante desse tipo de matriz é o próprio número.

Exemplo: Dada a matriz A = [5], seu determinante é det A = |5| = 5.

Lembrando que as barras duplas não é módulo, ou seja, se o elemento for negativo, o determinante também o é.

Como resolver matriz de ordem 2

Uma matriz de ordem 2 possui 4 elementos no total, resultante de: duas linhas e duas colunas. O determinante desse tipo de matriz é a diferença da multiplicação da diagonal principal pela diagonal secundária.

Exemplo: Dada a matriz:

Sendo:Logo, seu determinado é dado por:

Como resolver matriz de ordem 3

Uma matriz de ordem 3 possui 9 elementos no total, resultante de: três linhas e três colunas. O determinante desse tipo de matriz é calculado pela regra de Sarrus, da seguinte forma:

Seja a matriz:1 – Repete-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da matriz original,criando uma matriz auxiliar para o cálculo do determinante. Veja:

Desse modo é possível perceber três colunas principais e três secundárias:

2 – O determinante será a diferença entre a soma da multiplicação dos componentes das matrizes principal e secundária. Observe:

 

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Trigonometria no triângulo retângulo

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A trigonometria (trigono = triangular, metria = medida) teve origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e, em particular, do triângulo retângulo. E, nós do Toda Hora, iremos mostrar tudo o que você precisa saber sobre trigonometria no triângulo retângulo.

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Definições do triângulo retângulo

Considere o triângulo retângulo ABC.

Sendo:

  • O triângulo é retângulo com ângulo reto  e ângulos agudos B e C.
  • A medida a é a medida da hipotenusa.
  • A medida b é a medida do cateto oposto ao ângulo B e adjacente ao ângulo C.
  • A medida c é a medida do cateto oposto ao ângulo C e adjacente ao ângulo B.

Temos, então que:

Como todo ângulo agudo pode sesr ângulo de um triângulo retângulo, essas relações definem o seno, cosseno e a tangente de um ângulo agudo qualquer.

Relações que envolvem seno, cosseno e tangente de ângulos agudos

No triângulo ABC, A é um ângulo reto, em que α é a medida do ângulo C e β é a medida do ângulo B.

Temos:

Observe que α + β = 90°, pela lei dos triângulos (soma dos ângulos de um triângulo somam 180°, como o ângulo A é reto, então mede 90°, logo, os outros dois ângulos somam 90°, ou seja, são âgulos complementares). Logo, α = 90° – β e β = 90° – α são ângulos agudos. Pelas relações acima, vimos:

sen β = cos α, ou seja, sen β = cos (90° – β)

cos β = sen α, ou seja, cos β = sen (90° – β)

Então, para ângulos agudos α e β tal que α + β = 90°, temos:

  • O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento;
  • O cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento.

No mesmo triângulo, utilizando a relação de Pitágoras, a² = b² + c² , podemos mostrar que:

ou seja:

que é chamada relaçao fundamental entre seno e cosseno de um ângulo agudo.

Pode-se observar também que, como:Temos que:

Logo:

para qualquer ângulo agudo de medida α.

Trigonometria no triângulo retângulo – Tabela dos Ângulos Notáveis

Os ângulos notáveis são aqueles que aparecem com maior frequência, confira:

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Progressão Geométrica – Entenda o que é uma PG

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Progressão Geométrica (PG) é toda sequência de números não nulos na qual é constante o quaciente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado razão (q) da progressão.

Exemplo: A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1º termo é a₁ = 2 e a razão q = 5. Observe que: a₁ = 2; a₂ = 10 (2×5); a₃ = 50 (10×5) e a₄ = 250 (50×5).

250 : 50 = 5; 50 : 10 = 5; 10 : 2 = 5 → quociente constante = 5 (razão).

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Observações:

1ª) De modo geral, observamos que uma sequência (a₁, a₂, a₃, …, an, … ) com a₁ ≠ 0 é uma PG de razão q ≠ 0 quando:

2ª) Dados três termos consecutivos de uma progressão geométrica, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois.

Classificação da Progressão Geométrica

Dependendo da razão q, uma PG pode ser:

  • Crescente: A PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Exemplo:

(2, 6, 18, 54, …) com q = 3

(-40, -20, -10, -5, …) com q = 0,5

  • Decrescente: A PG é decrescente quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos. Exemplo:

(200, 100, 50, 25, …) com q = 0,5

(-4, -12, -36, -108, …) com q = 3

  • Constante: A PG é constante quando q = 1. Exemplo:

(10, 10, 10, …), em que q = 1

(-5, -5, -5, …), em que q = 1

  • Alternante: A PG é alternante quando q < 0. Exemplo:

(4, -8, 16, -32, …), em que q = -2

(-81, 27, -9, 3, …), em que q = -0,333…

Fórmula do termo geral de uma PG

E m uma progressão geométrica (a₁, a₂, a₃, …, an, … ) de razão q, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão (a₂ = a₁q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a₃ = a₁q²); para avançar três termos basta multiplicar o 1º termopelo cubo da razão q (a₄ = a₁q³); e assim por diante. Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PG, que é dado por:

Onde:

an = termo geral;

a₁ = 1º termo;

n = número de termos (até an);

q = razão.

Exemplo: Determine o 10º termo da PG (0,5, 1, 2, 4, …).

Temos que: a₁ = 0,5, q = 2 e n = 10 (já que é o termo que desejados descobrir). Jogamos esses valores na fórmula acima e obtemos o valor 256, que é o 10º termo da PG (0,5, 1, 2, 4, …).

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Operações com frações → Exercícios e exemplos

Uma coisa que aprendemos no ensino fundamental, especialmente à partir do 6º ano, são as famosas Operações com frações.

Existem 4 operações básicas que podem ser feitas:

E cada uma delas possui suas peculiaridades na hora de calcular. Abaixo poderá ver um pouco mais sobre isso e fazer alguns exercícios que podem ser propostos ao 6º ano do ensino fundamental.

Operações com frações algébricas exercícios 6º ano
Imagem retirada de: Em Busca do Meu Equilíbrio

Operações com frações

Isso é uma coisa comum de se ver em matemática, quase toda a vida acadêmica adiante verá esses termos.

Por isso é importante aprender a como fazer corretamente todos os passos para que não cometa erros. Veja abaixo as quatro operações:

Soma

Existem dois tipos de soma que podem acontecer, abaixo pode ver os dois casos:

Denominadores iguais

Nesse caso basta conservar os denominadores e somar os numeradores. Veja como é simples:

Exemplo 1: 1/2 + 3/2 = (1+3)/2 = 4/2 = 2

Exemplo 2: 2/7 + 4/7 = (2+4)/7 = 6/7

Exercícios de soma com denominadores iguais:

Faça a soma das seguintes frações:

a) 5/10 + 6/10 = ?

b) 2/5 + 4/5 = ?

c) 6/7 + 2/7 = ?

d) 3/2 + 5/2 = ?

e) 3/11 + 9/11 = ?

Denominadores diferentes

Aí se torna um pouco mais complicado fazer essa soma pois, inicialmente, precisa-se igualar os denominadores. Isso se faz achando o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, dividindo o mínimo múltiplo comum pelos denominadores e multiplicando pelos respectivos numeradores. Veja:

Exemplo 1: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = (3+4)/6 = 7/6 (Mínimo Múltiplo Comum = 6)

Exemplo 2: 2/7 + 4/3 = 6/21 + 28/21 = (6+28)/21 = 34/21 (Mínimo Múltiplo Comum = 21)

Exercícios de soma com denominadores diferentes:

Faça a soma das seguintes frações:

a) 5/10 + 6/7 = ?

b) 2/3 + 4/5 = ?

c) 6/8 + 2/7 = ?

d) 3/5 + 5/2 = ?

e) 3/2 + 9/11 = ?

Subtração

Da mesma forma que acontece com a soma, existem dois casos diferentes de subtração que devem ser abordados:

Denominadores iguais

Nesse caso basta conservar os denominadores e subtrair os numeradores. Veja como é simples:

Exemplo 1: 3/2 – 1/2 = (3-1)/2 = 2/2 = 1

Exemplo 2: 2/7 – 4/7 = (2-4)/7 = -2/7

Exercícios de subtração com denominadores iguais:

Faça a soma das seguintes frações:

a) 5/10 – 6/10 = ?

b) 8/5 – 4/5 = ?

c) 6/7 – 2/7 = ?

d) 3/2 – 5/2 = ?

e) 13/11 – 9/11 = ?

Denominadores diferentes

Aí se torna um pouco mais complicado fazer a subtração pois, inicialmente, tal como ocorre na soma, precisa-se igualar os denominadores. Isso se faz achando o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, dividindo o mínimo múltiplo comum pelos denominadores e multiplicando pelos respectivos numeradores. Veja:

Exemplo 1: 1/2 – 2/3 = 3/6 – 4/6 = (3-4)/6 = -1/6 (Mínimo Múltiplo Comum = 6)

Exemplo 2: 10/7 – 4/3 = 30/21 – 28/21 = (30-28)/21 = 2/21 (Mínimo Múltiplo Comum = 21)

Exercícios de subtração com denominadores diferentes:

Faça a subtração das seguintes frações:

a) 5/10 – 6/7 = ?

b) 2/3 – 4/5 = ?

c) 6/8 – 2/7 = ?

d) 3/5 – 5/2 = ?

e) 3/2 – 9/11 = ?

Multiplicação

Por incrível que pareça, a multiplicação é menos complicada que a soma e que a subtração, incorrendo em menos erros que as duas anteriores.

Aqui é bem simples: Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador que está tudo certo. Veja:

Exemplo 1: 3/2 x 1/2 = (3×1)/(2×2) = 3/4

Exemplo 2: 2/7 x 4/5 = (2×4)/(7×5) = 8/35

Exercícios de multiplicação para resolver

Faça a multiplicação das seguintes frações:

a) 5/10 x 6/3 = ?

b) 8/5 x 4/5 = ?

c) 6/7 x 2/5 = ?

d) 3/7 x 5/2 = ?

e) 13/4 x 9/11 = ?

Divisão

A divisão é uma das operações com frações que gera maior confusão na mente das pessoas, mas ela é bem simples de ser solucionada.

Como resolver: Basta conservar a fração que está no numerador(a que está sendo dividida por) e multiplicar pela fração que está no denominador(dividindo a primeira) invertendo-a.

Entendeu? Não? Veja abaixo os exemplos:

Exemplo 1: 3/2 ÷ 1/2 = 3/2 x 2/1 = (3×2)/(2×1) = 6/2 = 3

Exemplo 2: 2/7 ÷ 4/5 = 2/7 x 5/4 = (2×5)/(7×4) = 10/28 = 5/14

Exercícios de divisão para resolver

Faça a divisão das seguintes frações:

a) 5/10 ÷ 6/3 = ?

b) 8/5 ÷ 4/5 = ?

c) 6/7 ÷ 2/5 = ?

d) 3/7 ÷ 5/2 = ?

e) 13/4 ÷ 9/11 = ?

Essas Operações com frações serão usadas por muito tempo na escola, portanto seria bom aprender bem as mesmas para que consiga se dar bem nesse tipo de conteúdo.

Deixe comentários a respeito da resolução dos exercícios sobre Operações com frações para que possamos ver se entendeu corretamente o conteúdo. Deixe comentários, também, com dúvidas, sugestões ou correções que devam ser feitas no texto para que possamos ajudar um número maior de pessoas.

Números racionais e irracionais

Ator Robin Williams é encontrado morto em sua casa aos 63 anos

O assunto de hoje é números racionais e irracionais. Se você tem alguma dúvida sobre esse assunto, ao final desse artigo, essa dúvida não existirá mais.

A matemática nada mais é do que um jogo de números. Um número é um valor aritmético que pode ser uma figura, palavra ou símbolo que indica uma quantidade. Com os números é possível contar, medir, calcular, marcar, etc.

Existem vários conjuntos de números: Naturais, Inteiros, Reais, Complexos, etc. Os números que fazem parte do grupo dos Reais são divididos em racionais e irracionais.

Números racionais

Um número racional é um número que pode ser escrito como uma razão. Isso significa que ele pode ser escrito como uma fração, em que o numerador (número de cima) e o denominador (número de baixo) são números inteiros.

O número 7 é um número racional porque ele pode ser escrito pela fração 7/1

Da mesma forma, 9/11 é um número racional porque ele pode ser escrito como uma fração.

Mesmo uma fração gigante, como 8.903.763/6.739.219 é racional, simplesmente porque ela pode ser escrita como uma fração.

Todo número inteiro é um número racional, porque qualquer número inteiro pode ser escrito em forma de fração. Por exemplo, 10 pode ser escrito como 10/1, 100 pode ser escrito como 100/1 e 2,15 pode ser escrito como 2,15/1.

Números Irracionais

Todos os números que não são racionais, são considerados irracionais. Um número irracional não pode ser representado por uma fração.

Um número irracional possui no lado direito da vírgula, infinitos dígitos que não se repetem. Veja alguns exemplos de números irracionais.

Números racionais e irracionais - exemplos de números irracionais

Embora números irracionais não são frequentemente utilizados no dia a dia, nós não podemos desconsiderar esses números. Na verdade, entre 0 e 1, existem infinitos números irracionais.

Origem dos números irracionais

Acredita-se que Hippasus (estudante de Pitágoras) descobriu os números irracionais quando ele estava tentando escrever a raiz quadrada de 2 em forma de fração. Consequentemente, ele provou que é impossível representar a raiz quadrada de 2 em forma de fração. Por isso, ele é irracional.

Gostou do artigo “Números racionais e irracionais?”

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Poliedros de Platão: definição e história

Poliedros de Platão: definição

Poliedros de Platão são figuras em 3D que possuem as seguintes características:

  • cada face tem o mesmo polígono regular;
  • o mesmo número de polígono se encontram em cada vértice.

Existem apenas 5 poliedros de Platão.

Temos muitos outros artigos como esse na seção matemática.

Os 5 Poliedros de Platão

Tetraedro:

Poliedros de Platão - tetraedro

3 triângulos se encontram em cada vértice;

4 lados;

4 vértices;

6 arestas.

 

 

Cubo:

Poliedros de Platão - cubo

 

3 quadrados se encontram em cada vértice;

6 lados;

8 vértices;

12 arestas;

 

 

 

Octaedro:

Poliedros de Platão - octaedro

 

4 triângulos se encontram em cada vértice;

8 lados;

6 vértices;

12 arestas.

 

 

Dodecaedro:

Poliedros de Platão - dodecaedro

 

3 pentágonos se encontram em cada vértice;

12 lados;

20 vértices;

30 arestas.

 

 

Icosaedro:

Poliedros de Platão - icosaedro

 

5 triângulos se encontram em cada vértice;

20 lados;

12 vértices;

30 arestas.

 

História

Os poliedros de Platão foram muito estudados na Grécia antiga. Alguns autores relataram que o criador dos poliedros foi Pitágoras. Outras evidências sugerem que Pitágoras só conhecia o tetraedro, cubo e dodecaedro. Nessa teoria, o octaedro e o icosaedro foram inventados por Theaetetus, um contemporâneo de Platão.

De qualquer forma, Theaetetus descreveu os 5 poliedros e acredita-se que ele tenha sido responsável por provar que não existe mais nenhum outro poliedro convexo regular.

Os Poliedros de Platão foram muito importantes para a filosofia de Platão. Ele escreveu sobre esses poliedros no livro Timeu que foi lançado no ano de 360 BC.

Nesse livro, ele associou cada um dos 4 elementos clássicos (terra, ar, água e fogo) com um poliedro regular. A Terra foi associada com o cubo, o ar com um octaedro, a água com o icosaedro e o fogo com o tetraedro. Ele criou justificativas intuitivas para as associações.

Euclides descreveu matematicamente todos os poliedros de Platão em uma série de livros. O último livro (Livro XIII) ele dedicou as propriedades dos polígonos. Nesse livro ele mostrou como construir o tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro. Ele também mostrou que não existe outro polígono regular com as características dos Poliedros de Platão. Acredita-se que a maioria das informações desse livro foram derivadas do trabalho de Theaetetus.

Soma de vetores: aprenda 3 métodos

Muitas operações matemáticas podem ser realizadas utilizando vetores. A soma de vetores é uma dessas operações. Nessa operação, dois ou mais vetores se transformam em apenas um vetor resultante.

Soma de vetores

Existem vários métodos para fazer a soma de vetores. Porém, nem todos os métodos podem ser aplicados a todas as situações. Veja abaixo, alguns desses métodos:

1 – Vetores com a mesma direção e sentido

Esse é o caso mais simples. Se dois ou mais vetores possuem a mesma direção e o mesmo sentido, o vetor resultante manterá a direção e o sentido, e o módulo do vetor obtido será igual a soma dos módulos dos vetores envolvidos.

soma de vetores - exemplo

2 – Dois vetores perpendiculares

Para essa situação podemos utilizar o Teorema de Pitágoras. Para saber o sentido do vetor resultante, coloque a cabeça de um vetor na cauda do outro. Depois trace uma reta entre a cauda do primeiro vetor e a cabeça do segundo vetor. Essa reta será a direção do vetor resultante.

O módulo do vetor obtido será igual a raiz quadrada da soma dos quadrados dos módulos dos dois vetores envolvidos na soma.

soma de vetores - exemplo

3 – Dois ou mais vetores em qualquer direção e sentido

Um método que funciona para todos os casos é desenhar os vetores em uma folha graduada e depois colocar a cabeça de um vetor na cauda do próximo. O vetor resultante é o vetor que começa na cauda do primeiro vetor e termina na cabeça do último.

Ao terminar de fazer o desenho, você saberá qual a direção, o sentido e o módulo do vetor equivalente.

Caso a sua folha não seja graduada, mas você sabe os valores das componentes x e y de cada vetor, você poderá somar as componentes x e as componentes y. Sendo assim, o módulo do vetor resultante poderá ser encontrado pela fórmula abaixo:

soma de vetores - exemplo

Cone circular reto: definição, área e volume

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A matemática é uma ciência que causa dúvidas em muitas pessoas. Uma das grandes áreas da matemática é a geometria. Existem muitas figuras geométricas e algumas vezes é difícil lembrar o formato da figura, como calcular sua área e seu volume. Hoje vamos falar sobre o cone circular reto.

Os tópicos serão divididos em subtítulo para que você possa achar rapidamente a informação que procura.

O que é um cone circular reto?

Um cone é dito circular reto, se o seu eixo é perpendicular ao ponto central da sua base.

Cone circular reto - imagem do cone

 

Observe que se um triângulo retângulo for rotacionado em torno do seu eixo, o sólido formado será um cone circular reto.

Elementos do cone circular reto

Cone circular reto - imagem do cone destacando os seus elementos

  • Vértice (v): é o ponto comum de todas as retas do cone.
  • Base (b): é a parte inferior do cone.
  • Eixo (e): é a reta que passa pela base e pelo vértice do cone.
  • Geratriz (l): é qualquer reta que passe pelo vértice e pela linha limite da base.
  • Altura (h): distância perpendicular entre o centro da base e o vértice.

Área do cone circular reto

A área da base do cone é um círculo. Por isso o cálculo da área da base é:

Cone circular reto - fórmula da área da base

A área lateral é igual a metade da área do círculo da base multiplicado pelo comprimento da geratriz. Sendo assim:

Cone circular reto - fórmula da área lateral

A área total é a soma das duas áreas acima:

Cone circular reto - fórmula da área total

Existe uma relação entre a altura do cone reto, o comprimento da geratriz e o raio da base. Essa relação é baseada no Teorema de Pitágoras:

Cone circular reto - relação entre raio, altura e geratriz

O “r” é o raio, “h” a altura e “l” o comprimento da geratriz. Desse modo, caso você não tenha um desses dados, basta calculá-lo usando essa fórmula.

Volume do cone circular reto

O volume é igual a um terço da área da base multiplicada pela altura.

Cone circular reto - fórmula do volume

Área do cilindro → como calcular?

retangulo

Um cilindro é uma forma geométrica que tem duas bases paralelas, geralmente circulares, conectadas por uma superfície curvilínea. Essa superfície curvilínea, quando vista em um plano de duas dimensões, se torna um retângulo. Em várias situações é necessário calcular a área do cilindro, que é uma das figuras geométricas mais populares.

Veja também outros artigos relacionados a matemática.

Como calcular a área de um cilindro: exercício resolvido

Calcule a área do cilindro de raio 2 cm e altura igual a 5 cm.

Área do cilindro - desenho de um cilindro

Na figura acima, podemos ver que o raio está representado pela letra r e a altura está representada pela letra h.

A primeira coisa que temos que verificar é que o cilindro é formado por dois círculos e um retângulo. Para facilitar o cálculo da área do cilindro, vamos dividir essa área em duas áreas: área da base e área lateral.

Área Lateral do Cilindro

Se retirarmos as duas bases do cilindro, o que nos resta é a lateral do mesmo. Se abrirmos essa lateral em um plano de duas dimensões, teremos a figura abaixo:

Área do cilindro - desenho da área lateral do cilindro

A base do retângulo é o comprimento do círculo do cilindro e por isso só depende do raio do cilindro. A altura do retângulo é igual a altura do cilindro. A área do retângulo é o comprimento da base multiplicado pela altura. Nesse caso será

Área do cilindro - fórmula da área lateral

Para o nosso exemplo, temos:

Área do cilindro - exemplo

Área das Bases do Cilindro

As bases do cilindro são formadas por círculos. Por isso, a área das bases do cilindro, nada mais é do que 2 vezes a área do círculo.

Área do cilindro - fórmula da área da base

Continuando o exemplo:

Área do cilindro - exemplo

Área do cilindro

Finalmente, temos que somar a área lateral com a área da base.

Área do cilindro - fórmula da área do cilindro

Finalizando o exemplo:

Área do cilindro - exemplo

Se você calcular a área do cilindro usando o método descrito, você não precisará decorar fórmulas e sempre quando precisar você conseguirá calcular a área.